Przejdź do głównej zawartości

Paradoksy jednomandatowych ordynacji wyborczych

W ostatnich latach jednomandatowe wybory przedstawiane były jako dużo lepiej odzwierciedlające wolę wyborców. Czy tak jest w istocie?

Przyjrzyjmy się sytuacji na przykładzie autorstwa znakomitego popularyzatora matematyki pana doktora Krzysztofa Ciesielskiego. Przykład ten został zaprezentowany parę dekad temu na jego wykładzie na temat matematyki wyborczej. Teraz, po latach, dzięki jego uprzejmości prezentuję to zagadnienie tutaj.

Wyobraźmy sobie, że w pewnych wyborach startuje sześciu kandydatów, których oznaczymy imionami bohaterów ze Stumilowego Lasu. Mamy więc Puchatka (P), Tygryska (T), Kłapouchego (K), Sowę (S) i Maleństwo (M).

Głosuje 55 osób i tak się złożyło, że w tym malutkim społeczeństwie mamy 6 opcji preferencji wyborczych. Przedstawia je poniższa tabela.


14 osób 11 osób 10 osób 9 osób 6 osób5 osób
1. wybór
P
T
K
S
M
P
2. wybór
M
K
S
M
K
S
3. wybór
T
S
M
K
S
M
4. wybór
S
M
T
T
T
T
5. wybór
K
P
P
P
P
K

Jak wybierzemy tę jedną?

Można użyć metody większości. Wygrywa w niej ten kto jest pierwszym wyborem dla największej liczby osób. W naszym przypadku wygranym jest oczywiście Puchatek (19 głosów).

Można użyć metody stosowanej w wyborach prezydenckich w Polsce. Wygrywa w niej ten, kto ma ponad 50% głosów. Jeśli takiego kandydata nie ma, do drugiej tury przechodzą ci dwaj, którzy maja najwiecej głosów i głosowanie odbywa się powtórnie. W naszym przypadku Puchatek uzyskał 35% głosów więc w drugiej turze zmierzył się z Tygryskiem. Wynikiem II tury była wygrana Tygryska (36 głosów) nad Puchatkiem (19 głosów).

Można użyć metody Hare'a, która polega na ponawianiu głosowań i odrzucaniu na każdym etapie jednego kandydata. Kolejno odpadali Maleństwo, Sowa, Tygrysek i Puchatek. Zwycięzcą został Kłapouchy.

KandydatRunda 1Runda 2Runda 3Runda 4
Kłapouchy10162536
Maleństwo6
Puchatek19191919
Sowa99
Tygrysek111111

Można użyć metody punktowej (Bordy'ego). Za pierwsze miejsce u jednego wyborcy dostaje się 4 punkty, za drugie 3, za trzecie 2, za czwarte 1, za ostatnie 0. W tym przypadku zwycięzcą okazuje się Maleństwo.

Można w końcu użyć metody porównania każdego z każdym (Copelanda). Porównujemy kandydatów parami, za zwycięstwo w parze kandydat otrzymuje 1 punkt, za remis obaj po pół punktu. W naszym przykładzie metodą tą po serii 10 głosowań wygrywa Sowa gdyż okazuje się być lepsza od wszystkich innych kandydatów.

5 kandydatów - 5 metod - 5 różnych wyników. A przecież każda z tych metod ma swój głęboki sens i każda z nich odzwierciedla przecież jakoś wolę wyborców.

Możliwych metod wyboru jest jeszcze więcej. Nie wymieniłem tu metod: Bucklina, Baldwin, Blacka, Coombsa, Dodgsona, Nansona, Raynauda, Schulze'a, Simpsona, Smalla, Tidemana i Carey'a.

Jaki płynie stąd morał? Nie ma idealnej metody głosowania. Można matematycznie udowodnić twierdzenie Arrowa o niemożliwości, mówiące mniej więcej o tym, że nie można skonstruować takiej metody wyboru aby spełniała jednocześnie kilka bardzo sensownych postulatów.

Jak widać wybór jednej osoby wcale nie jest taki prosty jak mogłoby się wydawać.


Komentarze

Popularne posty z tego bloga

House MD and Mathematics

In “Occam's Razor” episode Gregory House MD substantiating his view that the hypothesis explaining the observed symptoms with two diseases is simplier, than a hypothesis based on one but very rare disease, speaks the following statement:Each one of these conditions is about a thousand to one shot. That means that any two of them happening at the same time is a million to one shot. Chase says that cardiac infection is a 10 million to one shot, which makes my idea 10 times better than yours.This statement shows that Gregory House is able to multiply two numbers and compare the result with a third one, he also heard something about probability and would like very much to use mathematics, but in spite of his sincere desire he cannot. (Generally, all of this can be probably said about the screenwriter who wrote the above sentence.)First, House makes the assumption of independence of developing the two diseases, which are suspected in a patient. That does not have to be. For example, wi…

Dr House i matematyka

W odcinku „Occam's Razor” dr Gregory House uzasadniając swoje zdanie, że jego hipoteza tłumacząca symptomy dwiema chorobami jest prostsza niż hipoteza oparta na jednej ale bardzo rzadkiej chorobie wygłasza następujące stwierdzenie:Częstość wystąpienia tych dwóch chorób wynosi jeden do tysiąca. To znaczy, że wystąpienie tych dwóch chorób na raz to wydarzenie do którego dochodzi jeden raz na milion przypadków. Chase twierdzi, że szansa na wystąpienie infekcji serca jest jak jeden do dziesięciu milionów. A to czyni moją hipotezę dziesięć razy lepszą od twojej. Ta wypowiedź świadczy o tym, że dr Gregory House potrafi pomnożyć dwie liczby i porównać wynik z trzecią, słyszał też coś o prawdopodobieństwie i bardzo chciałby posługiwać się matematyką lecz mimo szczerych chęci zupełnie mu to nie wychodzi. (W sumie wszystko to można zapewne powiedzieć również o scenarzyście, który napisał powyższe zdanie.)Po pierwsze House czyni założenie o niezależności zapadnięcia na dwie choroby, które …